題目的難度顏色使用 Luogu 上的分級，由簡單到困難分別為 🔴🟠🟡🟢🔵🟣⚫。

🔗 ABC439F Beautiful Kadomatsu

Problem Statement

題目簡述

給定長度 NN 的排列 PP。定義序列為 kadomatsu-like 當且僅當「峰」數 xx 大於「谷」數 yy。

  • 峰：ai−1<ai>ai+1a_{i-1} < a_i > a_{i+1}
  • 谷：ai−1>ai<ai+1a_{i-1} > a_i < a_{i+1}

求 PP 的子序列中有多少個是 kadomatsu-like 的，答案模 998244353998244353。

Constraints

約束條件

  • 1≤N≤3×1051 \le N \le 3 \times 10^5
  • PP 是 (1,2,…,N)(1, 2, \dots, N) 的排列

思路：條件轉換 + 貢獻計算 + 前綴和優化

條件轉換

定義相鄰元素的關係如下：

  • UU（升）：ai<ai+1a_i < a_{i+1}
  • DD（降）：ai>ai+1a_i > a_{i+1}

而峰（xx）是由「升轉降 (U→DU \to D)」產生，谷（yy）是由「降轉升 (D→UD \to U)」產生。
若是連續的相同坡度，僅代表持續上升，不會產生新的峰或谷。因此，我們可以將連續的相同坡度視為一段，整個序列的形狀由交替的 UU 和 DD 段組成。

由於峰與谷必須交替出現，其數量關係完全取決於序列是以何種坡度開始，以及以何種坡度結束。所有情況如下：

起始坡度 結束坡度 形狀示意 峰谷關係
UU UU U,D,…,D,UU, D, \dots, D, U x=yx = y
DD DD D,U,…,U,DD, U, \dots, U, D x=yx = y
DD UU D,U,…,D,UD, U, \dots, D, U y=x+1y = x + 1
UU DD U,D,…,U,DU, D, \dots, U, D x=y+1x = y + 1

因此，唯有 始 UU 終 DD 滿足條件。

條件等價

題目要求 x>yx > y，由上表可知僅有 「始 UU 終 DD」 的情況滿足。即子序列 aa 需同時滿足：

  1. a1<a2a_1 < a_2
  2. ak−1>aka_{k-1} > a_k

這隱含了 k≥3k \ge 3，因為至少需要一次「升轉降」才能使 x≥1x \ge 1 (當 y=0y=0)。若 k<3k < 3 則無法形成完整的峰。

枚舉策略

枚舉 P[i]P[i] 做為子序列的 第二項 a2a_2 、P[j]P[j] 做為倒數第二項 ak−1a_{k-1}，其中 i≤ji \le j，考慮 a1a_1、aka_k、中間元素的選擇方式：

  • a1a_1：索引 <i< i 且值 <P[i]< P[i] 的元素個數，記為 L[i]L[i]
  • aka_k：索引 >j> j 且值 <P[j]< P[j] 的元素個數，記為 R[j]R[j]
  • 中間元素：ii 與 jj 之間任選
    • i<ji < j 時有 2j−i−12^{j-i-1} 種選擇，即 k≥4k \ge 4 的情況
    • i=ji = j 時有 11 種選擇，即 k=3k = 3 的情況

其中 L[i]L[i]、R[j]R[j] 可以使用 Fenwick Tree 預處理。

計算優化

總答案由兩部分組成：

  1. i=ji = j (k=3k=3)：中間無元素。
  2. i<ji < j (k≥4k \ge 4)：中間有 2j−i−12^{j-i-1} 種選擇。

Ans=∑i=0N−1L[i]⋅R[i]+∑0≤i<j<NL[i]⋅R[j]⋅2j−i−1\text{Ans} = \sum_{i=0}^{N-1} L[i] \cdot R[i] + \sum_{0 \le i < j < N} L[i] \cdot R[j] \cdot 2^{j-i-1}

直接計算第二項需要 O(N2)\mathcal{O}(N^2)，會超時。
觀察指數項 2j−i−1=2j−1⋅2−i2^{j-i-1} = 2^{j-1} \cdot 2^{-i}，可將與 jj 有關的項移到外層，將第二項重寫為：

∑j=1N−1R[j]⋅2j−1⋅(∑i=0j−1L[i]⋅2−i)\sum_{j=1}^{N-1} R[j] \cdot 2^{j-1} \cdot \left( \sum_{i=0}^{j-1} L[i] \cdot 2^{-i} \right)

令括號內的部分為 前綴和 Sj=∑i=0j−1L[i]⋅2−iS_j = \sum_{i=0}^{j-1} L[i] \cdot 2^{-i}。
當我們從 jj 遍歷到 j+1j+1 時，只需將 L[j]⋅2−jL[j] \cdot 2^{-j} 加入 SS，即可在 O(1)\mathcal{O}(1) 內更新。

複雜度分析

  • 時間複雜度：O(Nlog⁡N)\mathcal{O}(N \log N)。
  • 空間複雜度：O(N)\mathcal{O}(N)。

Code

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from atcoder.fenwicktree import FenwickTree

MOD = 998244353

def solve():
    n = int(input())
    P = list(map(int, input().split()))
    assert len(P) == n

    L = [0] * n
    bit1 = FenwickTree(n + 1)
    for i, x in enumerate(P):
        L[i] = bit1.sum(0, x)
        bit1.add(x, 1)

    R = [0] * n
    bit2 = FenwickTree(n + 1)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        x = P[i]
        R[i] = bit2.sum(0, x)
        bit2.add(x, 1)

    pow2 = [1] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        pow2[i] = pow2[i - 1] * 2 % MOD
    inv2 = [-1] * (n + 1)
    inv2[n] = pow(pow2[n], -1, MOD)
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        inv2[i] = inv2[i + 1] * 2 % MOD

    ans = 0
    for a, b in zip(L, R):
        ans += a * b
        ans %= MOD

    # for i in range(n):
    #     for j in range(i + 1, n):
    #         ans += L[i] * R[j] * pow2[j - i - 1]
    #         ans %= MOD
    s = 0
    for j in range(n):
        if j > 0:
            ans += s * R[j] * pow2[j - 1]
            ans %= MOD
        s += L[j] * inv2[j]
        s %= MOD
    print(ans)

if __name__ == '__main__':
    solve()